数学とか物理とかの間違いに気づくこと(単位編)

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今日もちょっとした読み物を作ってみました。

数学の問題や物理の問題を解いているとき、ちょっと不安になる時があると思います。そのひとつには単位の次元を考えることが大切だったりします。結構初歩的なことかもですが、一応考えて行きましょう。

結論から言いますと、同じ単位(単位系)のもの意外を足したり等号で結んでいないかを確認しろ、ということです。

m[kg]a[m/s^2] = m[kg]g[m/s^2]h[m] とは普通なりませんし、逆に左辺に1[m]を掛けている場合も、その1[m]をしっかり書いておくと間違いが少なくなります。

 

単位は基本の単位を組み立てられてできている

 単位とは「を数値で表すための基準となる、約束された一定量のことである。」(wikipedia) ということですが、実際身近にはメートル、キログラム、後はボルト、ワット、ラジアン等色々あります。更にそれらの中にも基本単位と組立単位と、補助単位があります。現在日本でよく使われている単位はmksA単位系で、長さをメートル[m]、質量をキログラム[kg]、時間を秒[s]、電流をアンペア[A]を基本単位として使っています。これらを組み立てて他のニュートン[N]等の単位も作られています。

例えば、

F 1ニュートンは1[kg]の質量のものに加速度1[m/s^2]を加える量(F=ma)ですから、質量と加速度をかけてニュートン[N]=[kg m/s^2] とわかります。

 

間違いの理解とか

計算式、例えば

$latex  \frac{1}{2}mv^2 = mgh $$

という運動方程式があるとして、それぞれの単位を見ていきたいと思います。

左辺の単位は\frac{1}{2} m[kg] \times (v[m/s])^2 =K [kg\cdot m^2/s^2=J ]

となります。左辺も同様にm[kg] g[m/s^2] h[m] =U[kg\cdot m^2/s^2 = J]

と同じ単位となります。

また、同様に

\frac{1}{2}mv^2 + 1/2kx^2 = mgh

というように、足し算はいつでも単位が等しくなければなりません。また、単位系が違う場合も厳密には、例えば、カロリーcalとジュールJをたそうとした時には、どちらかに変換係数をかけなければなりませんから、結局そのまま足すことはできません。

例えば

100kcal + 500kJ= 100[kcal] \times 4.184[J/cal]  + 500[kJ]=918[kJ]

という感じです。

したがって…

同じ単位で足しているかどうか、単位は同じで比較しているかを確認していけば、最低限間違いは少なく出来るのではないでしょうか.

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